Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠BAC=60°，點O為Rt△ABC斜邊AB上的一點，以OA為半徑的⊙O與BC切于點D，與AC交于點E，連接AD.

（1）求∠CAD的度數；

（2）若OA = 2，求陰影部分的面積（結果保留π）.

Answer 1

【答案】（1）∠CAD的度數為30°；

（2）陰影部分的面積為.

【解析】試題分析：（1）連接OD．由切線的性質可知OD⊥BC，從而可證明AC∥OD，由平行線的性質和等腰三角形的性質可證明∠CAD=∠OAD；（2）連接OE，ED、OD．先證明ED∥AO，然后依據同底等高的兩個三角形的面積相等可知S△AED=S△EDO，于是將陰影部分的面積可轉化為扇形EOD的面積求解即可．

試題解析：（1）連接OD，

∵BC是⊙O的切線，D為切點，

∴OD⊥BC.

又∵AC⊥BC，

∴OD∥AC，

∴∠ADO=∠CAD.

又∵OD=OA，

∴∠ADO=∠OAD，

∴∠CAD=∠OAD=30°.

（2）連接OE，ED.

∵∠BAC=60°，OE=OA，

∴△OAE為等邊三角形，

∴∠AOE=60°，

∴∠ADE=30°.

又∵，

∴∠ADE=∠OAD，

∴ED∥AO，

∴

∴陰影部分的面積 = .