Question

【題目】從三角形一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的優美線．

（1）如圖，在△ABC中，AD為角平分線，∠B=50°，∠C=30°，求證：AD為△ABC的優美線；

（2）在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的優美線，且△ABD是以AB為腰的等腰三角形，求∠BAC的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠BAC的度數為113°．

【解析】

本題是一道新定義圖形的題。

（1）根據三角形的優美線的定義，只要證明△ABD是等腰三角形，△CAD∽△CBA即可解決問題．
（2）如圖2中，分兩種情形討論求解①若AB=AD，△CAD∽△CBA，則∠B=∠ADB=∠CAD，則AC∥BC，這與△ABC這個條件矛盾；②若AB=BD，△CAD∽△CBA.

（1）證明：∵，，

∴.

∵AD為角平分線，

∴.

∴.

∴.

∴△ABD是等腰三角形.

∵，，

∴△CAD∽△CBA.

∴AD為△ABC的優美線．

（2）∵AD是△ABC的優美線，且△ABD是以AB為腰的等腰三角形，

∴△CAD∽△CBA.

∴.

∵△ABD是以AB為腰的等腰三角形，

分兩種情況:

當AB=AD時，

∴.

又∵，

∴，不符合題意，這種情況不存在.

當AB=BD時，

∴.

∴.

∴∠BAC的度數為．