Question

【題目】已知：點A(4，0),點B是y軸正半軸上一點，如圖1，以AB為直角邊作等腰直角三角形ABC.

（1）當點B坐標為(0，1)時，求點C的坐標；
（2）如圖2，以OB為直角邊作等腰直角△OBD ， 點D在第一象限，連接CD交y軸于點E.在點B運動的過程中，BE的長是否發生變化？若不變，求出BE的長；若變化，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：過C作CM⊥y軸于M.

∵ CM⊥y軸,∴∠BMC=∠AOB=90°,

∴∠ABO+∠BAO=90°

∵∠ABC=90°,∴∠CBM+∠ABO=90°,

∴∠CBM=∠BAO

在△BCM與△ABO中 ∵

∴△BCM≌△ABO (AAS) ,

∴CM=BO=1，BM=AO=4，

∴OM=3，

∴C(-1,-3)

（2）解：在B點運動過程中，BE長保持不變，值為2，理由如下：

過C作CM⊥y軸于M，由（1）可知：△BCM≌△ABO，

∴CM=BO，BM=OA=4.

∵ △BDO是等腰直角三角形，

∴BO=BD, ∠DBO=90°,

∴CM=BD, ∠DBE=∠CME=90°,

在△DBE與△CME中，∵

∴△DBE≌△CME(AAS)

∴BE=EM

∴BE=

【解析】（1）構造全等三角形，過點C作y軸的垂線交y軸于M,用角角邊證明△BCM≌△ABO，即可求解；（2）輔助線同1小題，用角角邊證明△DBE≌△CME，得出BE=EM，即可求解。