Question

【題目】綜合題。
（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN．求證：CN∥AB．

（2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論CN∥AB還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：

∵△ABC和△AMN都是等邊三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠CAN，

∴∠BAM=∠CAN，

在△ABM和△ACN中，

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴∠ACN=∠ABM=60°，

∵∠ACB=60°

∴∠BCN+∠ABM=180°；

∴CN∥AB

（2）

證明：成立，

理由如下：

∵△ABC和△AMN都是等邊三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAC+∠CAM=∠CAM+∠MAN，

∴∠BAM=∠CAN

在△ABM和△ACN中， ，

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴∠ACN=∠ABM=60°，

∵∠ACB=60°

∴∠BCN+∠ABM=180°；

∴CN∥AB

【解析】（1）利用等邊三角形的性質得出AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN，進而得出∠BAM=∠CAN，即可判斷出△ABM≌△ACN（SAS），得出∠ACN=∠ABM=60°，進而得出∠BCN+∠ABM=180°即可得出結論；（2）同（1）的方法即可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解全等三角形的性質的相關知識，掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等，以及對等邊三角形的性質的理解，了解等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．