Question

【題目】已知：二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（﹣3，0），與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求出PA+PD的最小值；

（3）點G拋物線上的動點，在x軸上是否存在點E，使B、D、E、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的E點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）；（3）E1（﹣1，0），E2（3，0），E3，E4．

【解析】試題分析：（1）將A、D的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值．

（2）根據拋物線的解析式即可得到其對稱軸及B點的坐標，由于A、B關于拋物線對稱軸對稱，連接BD，BD與拋物線對稱軸的交點即為所求的P點，那么PA+PD的最小值即為BD的長，根據B、D的坐標，即可用勾股定理（或坐標系兩點間的距離公式）求出BD的長，也就求得了PA+PD的最小值．

（3）此題可分作兩種情況考慮：

①BE∥DG；根據拋物線的解析式可求得C點坐標，可得C、D關于拋物線對稱軸對稱，即C、D的縱坐標相同，所以CD∥x軸，那么C點就是符合條件的G點，易求得CD的長，根據平行四邊形的性質知BE=CD，由此可得到BE的長，將B點坐標向左或向右平移CD個單位即可得到兩個符合條件的E點坐標；

②BD∥EG；根據平行四邊形的性質知，此時G、D的縱坐標互為相反數，由此可求得G點的縱坐標，將其代入拋物線的解析式中即可求得G點的坐標；那么將G點的橫坐標減去3（B、D橫坐標差的絕對值），即可得到兩個符合條件的E點坐標；

綜上所述，得到符合條件的E點坐標．

試題解析：解：（1）將A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入y=x2+bx+c，得：

，解得： ；

∴拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3．

（2）由：y=x2+2x﹣3得：

對稱軸為： ，

令y=0，則：x2+2x﹣3=0，

∴x1=﹣3，x2=1，

∴點B坐標為（1，0），

而點A與點B關于x=﹣1對稱，

∴連接BD與對稱軸的交點即為所求的P點．

過點D作DF⊥x軸于點F，則：DF=3，BF=1﹣（﹣2）=3，

在Rt△BDF中，BD=，

∵PA=PB，

∴PA+PD=PB+PD=BD=，

即PA+PD的最小值為．

（3）存在符合條件的點E，

①在y=x2+2x﹣3中，令x=0，則有：y=﹣3，故點C坐標為（0，﹣3），

∴CD∥x軸，

∴在x軸上截取BE1=BE2=CD=2，得BCDE1和BDCE2，

此時：點C與點G重合，E1（﹣1，0），E2（3，0）．

②∵BF=DF=3，∠DFB=90°，

∴∠FBD=45°，

當G3E3∥BD且相等時，有G3E3DB，作G3N⊥x軸于點N，

∵∠G3E3B=∠FBD=45°，∠G3NE3=90°，G3E3=BD=，

∴G3N=E3N=3；

將y=3代入y=x2+2x﹣3

得： ，

∴E3的坐標為： ，

即，

同理可得：E4，

綜上所述：存在這樣的點E，所有滿足條件的E點坐標為：

E1（﹣1，0），E2（3，0），

E3，E4．