Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8 cm，AD⊥BC于點D．點P從點A出發，沿A→C方向以 cm/s的速度運動到點C停止．在運動過程中，過點P作PQ∥AB交BC于點Q，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（點M，C位于PQ異側）．設點P的運動時間為x（s），△PQM與△ADC重疊部分的面積為y（cm2）

（1）當點M落在AB上時，求x的值；
（2）當點M落在AD上時，PM與CD之間的數量關系是 ， 此時x的值是；
（3）求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當點M落在AB上時，四邊形AMQP是正方形，此時點D與點Q重合，

∴AP=CP=4 ，所以x= =4．

故答案為4．

（2）PM= CD；
（3）

解：①當0＜x≤4時，如圖2中，設PM、PQ分別交AD于點E、F，則重疊部分為△PEF，

∵AP= x，

∴EF=PE=x，

∴y=S△PEF= PEEF= x2．

②當4＜x≤ 時，如圖3中，設PM、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形PEGQ．

∵PQ=PC=8 ﹣ x，

∴PM=16﹣2x，∴ME=PM﹣PE=16﹣3x，

∴y=S△PMQ﹣S△MEG= （8 ﹣ x）2﹣ （16﹣3x）2=﹣ x2+32x﹣64．

③當 ＜x＜8時，如圖4中，則重合部分為△PMQ，

∴y=S△PMQ= PQ2= （8 ﹣ x）2=x2﹣16x+64．

綜上所述y=

【解析（1）當點M落在AB上時，四邊形AMQP是正方形，此時點D與點Q重合，由此即可解決問題．（2）如圖1中，當點M落在AD上時，作PE⊥QC于E，先證明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得 ，由此即可解決問題．（3）分三種情形①當0＜x≤4時，如圖2中，設PM、PQ分別交AD于點E、F，則重疊部分為△PEF，②當4＜x≤ 時，如圖3中，設PM、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形PEGQ．③當 ＜x＜8時，如圖4中，則重合部分為△PMQ，分別計算即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的應用的相關知識點，需要掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能正確解答此題．