Question

（2012•義烏市模擬）已知：如圖，過原點的拋物線的頂點為M（-2，4），與x軸負半軸交于點A，對稱軸與x軸交于點B，點P是拋物線上一個動點，過點P作PQ⊥MA于點Q．
（1）拋物線解析式為

y=-x²-4x

．
（2）若△MPQ與△MAB相似，則滿足條件的點P的坐標為

（-

11

4

，

55

16

）、（-

2

3

，

20

9

）

．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x+2）²+4，因為拋物線過原點，把（0，0）代入，求出a即可．
（2）由于PQ⊥MA，即∠MQP=∠MBA=90°；所以只要滿足∠PMQ=∠MAB或∠PMQ=∠AMB．
①∠PMQ=∠AMB時，先找出點B關于直線MA的對稱點（設為點C），顯然有AC=AB=2、MC=MB=4，可根據該條件得到點C的坐標，進而求出直線MC（即直線MP）的解析式，聯立拋物線的解析式即可得到點P的坐標；
②∠PMQ=∠MAB時，若設直線MP與x軸的交點為D，那么△MAD必為等腰三角形，即MD=AD，根據此條件先求出點D的坐標，進而得出直線MP的解析式，聯立拋物線的解析式即可得解．

解答：解：（1）∵過原點的拋物線的頂點為M（-2，4），
∴設拋物線的解析式為：y=a（x+2）²+4，
將x=0，y=0代入可得：4a+4=0，
解得：a=-1，
∴拋物線解析式為：y=-（x+2）²+4，
即y=-x²-4x；

（2）∵PQ⊥MA
∴∠MQP=∠MBA=90°；
若△MPQ、△MAB相似，那么需滿足下面的其中一種情況：
①∠PMQ=∠AMB，此時MA為∠PMB的角平分線，如圖①；
取點B關于直線MA的對稱點C，則AC=AB=2，MC=MB=4，設點C（x，y），有：

(x+4)2+y2=4 (x+2)2+(y-4)2=16

，解得

x1=-2 y1=0

（舍），

x2=- 26 5 y2= 8 5

∴點C的坐標為（-

26

5

，

8

5

）；
設直線MP的解析式：y=kx+b，代入M（-2，4）、（-

26

5

，

8

5

）得：

-2k+b=4 - 26 5 k+b= 8 5

，解得

k= 3 4 b= 11 2

∴直線MP：y=

3

4

x+

11

2

聯立拋物線的解析式，有：

y= 3 4 x+ 11 2 y=-x2-4x

，解得

x1=-2 y1=4

，

x2=- 11 4 y2= 55 16

∴點P的坐標（-

11

4

，

55

16

）；
②∠PMQ=∠MAB，如右圖②，此時△MAD為等腰三角形，且MD=AD，若設點D（x，0），則有：
（x+4）²=（x+2）²+（0-4）²，解得：x=1
∴點D（1，0）；
設直線MP的解析式：y=kx+b，代入M（-2，4）、D（1，0）后，有：

-2k+b=4 k+b=0

，解得：

k=- 4 3 b= 4 3

∴直線MP：y=-

4

3

x+

4

3

聯立拋物線的解析式有：

y=- 4 3 x+ 4 3 y=-x2-4x

，解得：

x1=-2 y1=4

，

x2=- 2 3 y2= 20 9

∴點P的坐標（-

2

3

，

20

9

）
綜上，符合條件的P點有兩個，且坐標為（-

11

4

，

55

16

）、（-

2

3

，

20

9

）．
故答案：（1）y=-x²-4x；（2）（-

11

4

，

55

16

）、（-

2

3

，

20

9

）．

點評：該題雖然是一道填空題，但難度不亞于壓軸題；主要的難度在于第二題，在“相似三角形→相等角→確定關鍵點→得到直線MP解析式”的解題思路中，綜合了相似三角形、等腰三角形的性質、軸對稱圖形、坐標系兩點間的距離公式、函數圖象交點坐標的求法等重點知識，這就要求同學們有扎實的基礎功底和良好的數形結合的思考方法．