Question

已知拋物線y=-x²+

4 3

3

x與x軸交于O點和B點，與直線y=kx在第一象限交于點A（

3

，1）．
（1）求k的值及∠AOB的度數．
（2）現有一個半徑為2的動圓，其圓心P在拋物線上運動，當⊙P恰好與y軸相切時，求P點坐標．
（3）在拋物線上是否存在一點M，使得以M為圓心的⊙M恰好與y軸和上述直線y=kx都相切？若存在，求點M的坐標及⊙M的半徑；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點A坐標代入直線OA的解析式中即可確定k的值；由點A的坐標，先求出∠AOB的正弦值，由此確定∠AOB的度數．
（2）⊙P與y軸相切時，點P的橫坐標的絕對值等于⊙P的半徑長，將點P的橫坐標代入拋物線的解析式中，即可確定點P的坐標．
（3）⊙M與y軸、直線OA都相切，那么圓心M必為∠AOy的角平分線與拋物線的交點，根據該思路解題即可．

解答：解：（1）將點A（

3

，1）代入直線y=kx中，得：

3

k=1，k=

3

3

；
由A（

3

，1）得：tan∠AOB=

1

3

=

3

3

，則：∠AOB=30°．

（2）∵⊙P恰好與y軸相切，
∴P點到y軸的距離等于⊙P的半徑，即 P點的橫坐標為 2或-2；
當x=2時，y=-2²+

4 3

3

×2=-4+

8 3

3

；
當x=-2時，y=-（-2）²+

4 3

3

×（-2）=-4-

8 3

3

；
∴P（2，-4+

8 3

3

）或（-2，-4-

8 3

3

）．

（3）∵由（1）知：∠AOB=30°，則∠AOy=60°；
∴∠AOy的角平分線：y=

3

x．
聯立拋物線的解析式，得：

y= 3 x y=-x2+ 4 3 3 x

，
解得：

x1=0 y1=0

（舍去），

x2= 3 3 y2=1

，
∴點M的坐標（

3

3

，1），⊙M的半徑為

5 3

3

、

3

3

．

點評：考查了二次函數綜合題，該題主要考查的是函數圖象交點坐標的求法以及直線與圓的位置關系，題目的難度不大，后兩問中，能夠根據圓與直線相切判斷出圓心的位置是解題的關鍵．