Question

如圖，要設計一個等腰梯形的花壇，花壇上底長240m，下底長360m，上下底相距80m，在兩腰中點連線（虛線）處有一條橫向梯形通道，上下底之間有兩條縱向矩形通道，橫、縱通道的寬度分別為x（m）、2x（m）．
（1）當三條通道的面積是梯形面積的

1

8

時，求每條縱向通道的寬；
（2）根據設計的要求，橫向通道的寬不能超過6m．如果修建通道的總費用為11.4x萬元，花壇其余部分的綠化費用為每平方米0.02萬元，那么當橫向通道的寬度為多少m時，所建花壇的總費用最少？最少費用是多少萬元？

Answer 1

分析：（1）通道的形狀是梯形，所以根據梯形面積公式即可求解；需要用含x的代數式表示出三條通道的總面積，然后求出梯形的總面積，從而根據題意列方程求解，在求解過程中要注意三條通道有重合部分；
（2）首先要根據題意表示出修建花壇的總費用與通道的寬度之間的函數關系式，從而轉化成函數的最值問題進行求解．

解答：解：（1）橫向通道的面積為：

240+360

2

x=300x（m²）；
依題意：2×80×2x+300x-4x²=

1

8

×

240+360

2

×80，
整理得：x²-155x+750=0，
x₁=5，x₂=150（不符合題意，舍去），
∴通道的寬為5m；

（2）設建設花壇的總費用為y萬元．
則y=0.02×[

240+360

2

×80-（-4x²+620x）]+11.4x，
=0.08x²-x+480，
當x=-

b

2a

=6.25時，y的值最小．
∵根據設計的要求，通道的寬不能超過6m，
∴當x=6m時，總費用最少．
即最少費用為：0.08×6²-6+480=476.88萬元．

點評：此題主要考查了屬于幾何型二次函數的應用題，二次函數的應用題中考的必考的知識點，往往以壓軸題的身份出現，解決這類問題的關鍵是函數思想的確立、函數模型的建立．考查的能力有轉化能力、閱讀理解能力；考查的數學思想主要是數學建模思想、數形結合思想．