Question

【題目】已知a是大于1的實數，且有a3+a-3=p，a3-a-3=q.

（1）若p+q=4，求p-q的值；

（2）當q2=22n+-2（n≥1，且n是整數）時，比較p與a3+的大小.

Answer 1

【答案】（1）p-q=1; （2）當n=1時，p＞a3+；當n=2時，p=a3+；當n≥3時，p＜a3+.

【解析】

（1）根據已知條件可得a=2，代入可求p-q的值；

（2）根據作差法得到p-（a+）= ，分三種情況：當n=1時；當n=2時；當n≥3時進行討論即可求解．

解：（1）∵a3+ a-3 =p①，a3-a-3=q②，

∴①+②得，2a3=p+q=4，∴a3=2，

①-②得，p-q=2a-3=1；

（2）∵q2=22n+2-2n-2（n≥1，且n是整數），

∴q2=(2n-2-n)2，∴q=2n-2-n.

又由（1）中①+②得2a3=p+q，a3=(p+q)，

①-②得，p-q=2a-3，a-3= (p-q)，

∴p2-q2=4，

p2=q2+4=(2n-2-n)2+4=(2n+2-n)2，

∴p=2n+2-n，

∴a3+a-3=2n+2-n，③

a3-a-3=2n-2-n，④

∴③+④得2a3=2×2n，

∴a3=2n，

∴p-(a3+)=2n+2-n-2n-=2-n-.

當n=1時，p＞a3+；

當n=2時，p=a3+；

當n≥3時，p＜a3+.