Question

【題目】如圖，在鈍角△ABC中，點D是BC的中點，分別以AB和AC為斜邊向△ABC的外側作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，M、N分別為AB、AC的中點，連接DM、DN、DE、DF、EM、EF、FN．求證：

（1）△EMD≌△DNF；

（2）△EMD∽△EAF；

（3）DE⊥DF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）首先根據D是BC中點，N是AC中點N，可得DN是△ABC的中位線，判斷出DN=AC；然后判斷出EM=AB，再通過證明四邊形AMDN是平行四邊形，可得∠AMD=∠AND，進而可證明∠EMD=∠DNF，由全等三角形的判定方法即可證明△EMD≌△DNF；

（2）首先計算出EM：EA的值，DM和AF的數量關系以及證明∠EMD=∠EAF，再根據相似三角形判定的方法，判斷出△EMD∽△∠EAF；

（3）由（2）可知△EMD∽△EAF，即可判斷出∠MED=∠AEF，然后根據∠MED+∠AED=45°，判斷出∠DEF=45°，再根據DE=DF，判斷出∠DFE=45°，∠EDF=90°，即可判斷出DE⊥DF．

試題解析：（1）∵D是BC中點，M是AB中點，N是AC中點，∴DM、DN都是△ABC的中位線，∴DM∥AC，且DM=AC；DN∥AB，且DN=AB；

∵△ABE是等腰直角三角形，M是AB的中點，∴EM平分∠AEB，EM=AB，∴EM=DN，同理：DM=FN，∵DM∥AC，DN∥AB，∴四邊形AMDN是平行四邊形，∴∠AMD=∠AND，又∵∠EMA=∠FNA=90°，∴∠EMD=∠DNF，在△EMD和△DNF中，∵EM=DN，∠EMD=∠DNF，MD=NF，∴△EMD≌△DNF；

（2）∵三角形ABE是等腰直角三角形，M是AB的中點，∴EM平分∠AEB，EM⊥AB，∴EM=MA，∠EMA=90°，∠AEM=∠EAM=45°，∴=sin45°=，∵D是BC中點，M是AB中點，∴DM是△ABC的中位線，∴DM∥AC，且DM=AC；

∵△ACF是等腰直角三角形，N是AC的中點，∴FN=AC，∠FNA=90°，∠FAN=∠AFN=45°，又∵DM=AC，∴DM=FN=FA，∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD，∠EAF=360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣∠AMD）=90°+∠AMD，∴∠EMD=∠EAF，在△EMD和△∠EAF中，∵，∠EMD=∠EAF，∴△EMD∽△∠EAF；

（3）∵△EMD∽△∠EAF，∴∠MED=∠AEF，∵∠MED+∠AED=45°，∴∠AED+∠AEF=45°，即∠DEF=45°，又∵△EMD≌△DNF，∴DE=DF，∴∠DFE=45°，∴∠EDF=180°﹣45°﹣45°=90°，∴DE⊥DF．