Question

以原點O為圓心，1cm為半徑的圓分別交、軸的正半軸于A、B兩點，點P的坐標為（2，0），動點Q從點B處出發，沿圓周按順時針方向勻速運動一周，設運動的時間為秒.

（1）如圖一，當時，直線PQ恰好與⊙O第一次相切，連接OQ．求此時點Q的運動速度（結果保留）；
（2）若點Q按照（1）中的速度繼續運動.
①當為何值時，以O、P、Q為頂點的三角形是直角三角形；
②在①的條件下，如果直線PQ與⊙O相交，請求出直線PQ被⊙O所截的弦長.

Answer 1

（1）/秒；（2）①，或；②

試題分析：（1）連接OQ，則OQ⊥PQ，OQ=1，OP=2，所以°，即°，再根據弧長公式即可求得弧BQ的長，從而得到點Q的運動速度；
（2）①由（1）可知，當t=1時，△OPQ為直角三角形，所以，當Q＇與Q關于x軸對稱時，△OPQ＇為直角三角形，此時°，，，再結合當Q＇(0，-1)或Q＇(0，1)時求解即可；
②當或時，直線PQ與⊙O相交.作OM⊥PQ，根據等面積法及勾股定理可求得PM的長，從而求的結果.
（1）連接OQ，

則OQ⊥PQ，OQ=1，OP=2，所以°，即°，
，所以點Q的運動速度為/秒；
（2）①由（1）可知，當t=1時，△OPQ為直角三角形，所以，當Q＇與Q關于x軸對稱時，△OPQ＇為直角三角形，此時°，，，
當Q＇(0，-1)或Q＇(0，1)時，°，此時或，
即當，或時，△OPQ是直角三角形；
②當或時，直線PQ與⊙O相交.作OM⊥PQ，根據等面積法可知：
PQ×OM=OQ×OP，PQ=， ，
，弦長.
點評：動點的綜合題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般壓軸題形式出現，難度較大.