Question

【題目】如圖1，是一款常見的海綿拖把，圖2是其平面示意圖，EH是拖把把手，F是把手的一個固定點，海綿安裝在兩片活動骨架PA，PB上，骨架的端點P只能在線段FH上移動，當海綿完全張開時，PA，PB分別與HMHN重合；當海綿閉合時，PA，PB與FH重合．已知直桿EH=120cm，FH=20cm．

(1)若∠APB=90°，求EP的長(結果保留根號)

(2)若∠APB=26°，求MA的長(結果保留小數點后一位)

(3)海綿從完全張開到閉合的過程中，直接寫出PA的中點Q運動的路徑長．(參考數據：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，π取3.14)

Answer 1

【答案】(1)(120﹣10)cm；(2)15.5(cm)；(3)15.7(cm)

【解析】

(1)當海綿完全張開時，PA，PB分別與HMHN重合；當海綿閉合時，PA，PB與FH重合，得出PA=PB=FH=HM=HN=20，證明△APB是等腰直角三角形，由題意知，EH⊥MN，得出△APH也是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質得出PA= PH，得出PH= PA=，即可得出答案；
(2)由等腰三角形的性質得出∠APH=∠BPH，得出∠APH=∠APB==13°，AH=PAsin13°≈20×0.225=4.5，即可得出答案；
(3)由直角三角形斜邊上的中線性質得出HQ始終等于PA=10cm，得出Q運動的軌跡是以H為圓心，半徑為10cm的90°圓弧，由弧長公式即可得出答案．

(1)∵當海綿完全張開時，PA，PB分別與HMHN重合；

當海綿閉合時，PA，PB與FH重合，

∴PA=PB=FH=HM=HN=20，

∵∠APB=90°，

∴△APB是等腰直角三角形，

由題意知，EH⊥MN，

∴△APH也是等腰直角三角形，

∴PA=PH，

∴PH=PA=×20=10，

∴EP=EH﹣PH=(120﹣10)cm；

(2)∵PA=PB，EH⊥MN，

∴∠APH=∠BPH，

∴∠APH=∠APB=×26°=13°，

AH=PAsin13°≈20×0.225=4.5，

∴MA=HM﹣AH=20﹣4.5=15.5(cm)；

(3)∵EH⊥MN，Q是PA的中點，

∴HQ始終等于PA=10cm，

∴Q運動的軌跡是以H為圓心，半徑為10cm的90°圓弧，

∴點Q運動的路徑長=≈=15.7(cm)