Question

在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y=2x²沿y軸向上平移1個單位，再沿x軸向右平移兩個單位，平移后拋物線的頂點坐標記作A，直線x=3與平移后的拋物線相交于B，與直線OA相交于C．
（1）求△ABC面積；
（2）點P在平移后拋物線的對稱軸上，如果△ABP與△ABC相似，求所有滿足條件的P點坐標．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知平移后的函數的解析式為：y=2（x-2）²+1，可據此求出其頂點A和B點的坐標，然后用待定系數法求出直線AO的解析式，即可求出C點的坐標，根據這三點的坐標即可求出△ABC的面積；
（2）由于不確定是哪組角對應相等，因此要分兩種情況進行討論：
①當∠PBA=∠CBA時，四邊形PACB是平行四邊形，因此PA=BC，由此可求出P點的坐標．
②當∠APB=∠BAC時，可根據關于AP，AB，BC的比例關系式，求出AP的長，進而可求出P的坐標．
綜上所述即可求出符合條件的P點的坐標．

解答：解：平移后拋物線的解析式為y=2（x-2）²+1．
∴A點坐標為（2，1），
設直線OA解析式為y=kx，將A（2，1）代入
得k=

1

2

，直線OA解析式為y=

1

2

x，
將x=3代入y=

1

2

x
得y=

3

2

，
∴C點坐標為（3，

3

2

）．
將x=3代入y=2（x-2）²+1得y=3，
∴B點坐標為（3，3）．
∴S_△ABC=

3

4

．

（2）∵PA∥BC，
∴∠PAB=∠ABC
①當∠PBA=∠BAC時，PB∥AC，
∴四邊形PACB是平行四邊形，
∴PA=BC=

3

2

．
∴P₁（2，

5

2

）．

②當∠APB=∠BAC時，

AP

AB

=

AB

BC

，
∴AP=

AB2

CB

．
又∵AB=

(3-2)2+(3-1)2

=

5

，
∴AP=

10

3

∴P₂（2，1+

10

3

）即P₂（2，

13

3

）
綜上所述滿足條件的P點有（2，

5

2

），（2，

13

3

）．

點評：本題考查了二次函數圖象的平移，圖形面積的求法，相似三角形的判定和性質等知識點，主要考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．