Question

如圖，正方形ABCD的邊長是3，點P是直線BC上一點，連接PA，將線段PA繞點P逆時針旋轉得到線段PE，在直線BA上取點F，使BF=BP，且點F與點E在BC同側，連接EF，CF.

⑴如圖，當點P在CB延長線上時，求證：四邊形PCFE是平行四邊形；

⑵如圖‚，當點P在線段BC上時，四邊形PCFE是否還是平行四邊形，說明理由；

⑶在⑵的條件下，四邊形PCFE的面積是否有最大值？若有，請求出面積的最大值及此時BP長；若沒有，請說明理由。

第25題  圖

第25題  圖‚

Answer 1

（1）證法一：如圖①

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC,∠ABC=∠PBA=90°

又∵BP=BF   

∴△PBA≌△FBC                ……………1分

∴PA=FC  ∠PAB=∠FCB   

又∵PA=PE     ∴PE=FC         ……………2分

∵∠PAB+∠APB= 90°      ∴∠FCB+∠APB= 90°                                

又∵∠EPA=90°

∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°

即∠EPC+∠PCF=180°         

∴EP∥FC                    ………………4分

∴四邊形EPCF是平行四邊形.  ………………5分

證法二：延長CF與AP相交于點G，如圖②             

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC,     ∠ABC=∠PBA=90°       

又∵BP=BF   

∴△PBA≌△FCB                        ……………1分 第26題 圖②

       ∴∠PAB=∠FCB,AP=CF

又∵PA=PE     ∴PE=FC                ……………2分

       ∵∠PAB+∠APB=90°∴∠FCB+∠APB=90°

       ∴∠PGC=90°∴∠PGC=∠APE=90°∴EP∥FC      ……4分

∴四邊形EPCF是平行四邊形.                ………5分

（2）證法一：結論：四邊形EPCF是平行四邊形，如圖③ ……6分           

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC,     ∠ABC=∠CBF=90°    

又∵BP=BF    ∴△PBA≌△FBC           ……………7分

∴PA=FC   ∠PAB=∠FCB                                      

又∵PA=PE     ∴PE=FC                 ……………8分

∵∠FCB+∠BFC= 90°

∠EPB+∠APB= 90°                                           第25題圖③

∴∠BPE=∠FCB             

∴EP∥FC                           ………………9分

∴四邊形EPCF是平行四邊形.         ………………10分

證法二：結論：四邊形EPCF是平行四邊形   ……………6分

延長AP與FC相交于點G如圖④         

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC,     ∠ABC=∠CBF=90°    

又∵BP=BF    ∴△PBA≌△FBC           ……………7分        

∴PA=FC   ∠PAB=∠FCB                   

 又∵PA=PE     ∴PE=FC                 ……………8分

∵∠FCB+∠BFC=90°

∴∠PAB+∠BFC=90°

∴∠PGF=90°

∴∠PGF=∠APE=90°

∴EP∥FC                            ………………9分        第25題④圖

∴四邊形EPCF是平行四邊形.          ………………10分

(3)解：設BP=x，則PC=3-x  平行四邊形PEFC的面積為S,    …………………11分          

 S=PC·BF=PC·PB=  ……………12分 

        當時, =   …………………………………………………13分

∴當BP=時，四邊形PCFE的面積最大，最大值為. …………………14分