Question

【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x-3與坐標軸交于A，B兩點.

(1)求A，B兩點的坐標；

(2)以AB為邊在第四象限內作等邊三角形ABC，求△ABC的面積；

(3)在平面內是否存在點M，使得以M，O，A，B為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，直接寫出M點的坐標：若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) A(0，-3)，B(4，0)；(2) ；(3)存在，(-4，-3)或(4，3)或(4，-3).

【解析】

（1）當x=0時，y=-3，當y=0時，x=4，可求A，B兩點的坐標；
（2）由勾股定理可求AB的長，即可求△ABC的面積；
（3）分兩種情況討論，由平行四邊形的性質可求點M坐標．

(1)在中，令x=0，得y=-3

令y=0，得x=4

∴A(0，-3)，B(4，0)

(2)由(1)知：OA=3，0B=4

在RtΔAOB中，由勾股定理得：AB=5.

如圖：過C作CD⊥AB于點D,

則AD=BD=

又AC=AB=5.

在Rt△ADC中，

∴

(3) 若AB為邊時，
∵以M，O，A，B為頂點的四邊形是平行四邊形
∴MO∥AB，MO=AB=5，
當點M在OB下方時，AM=BO=4，AM∥OB
∴點M（-4，-3）
當點M在OB上方時，OA=BM=3，OA∥BM
∴點M（4，3）
若AB為對角線時，
∵以M，O，A，B為頂點的四邊形是平行四邊形
∴AM∥OB，BM∥OA，
∴點M（4，-3）
綜上所述：點M坐標為（-4，-3），（4，3），（4，-3）.