Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F，點E是DB延長線上的一點，∠EAB＝∠ADB.

(1)求證：EA是⊙O的切線；

(2)若點B是EF的中點，AB＝，CB＝，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4.

【解析】分析: （1）連接CD，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ADC=90°，由角的關系可得出∠EAC=90°，即得出EA是⊙O的切線;

（2）連接BC，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ABC=90°，由在RT△EAF中，B是EF的中點，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA，利用相似從而求AE的長.

詳解:

（1）∵弧AB=弧AB，∴∠D＝∠C.

∵∠EAB＝∠D，∴∠EAB＝∠C.

∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，

∴∠EAB＋∠CAB＝90°，

∴∠DAE＝90°，

∴AE與⊙O相切；

（2）

∵∠ABC＝90°,AB=,CB＝,

∴AC==6，

由(1)知∠OAE＝90°，

在Rt△EAF中，∵B是F的中點，

∴EF=2AB=

∴∠BAF＝∠BFA.

∵∠ABC＝∠EAF，∴Rt△AFE∽Rt△BAC，

∴,,

AE＝4.

點睛: 本題主要考查了切線的判定和相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是作出輔助線運用三角形相似及切線性質求解.