Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于兩點，點為拋物線的頂點，為線段中點.

（1）求的值；

（2）求證：；

（3）以拋物線的頂點為圓心，為半徑作，點是圓上一動點，點為的中點（如圖2）；

①當面積最大時，求的長度；

②若點為的中點，求點運動的路徑長.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）①或；②.

【解析】

（1）將代入二次函數的解析式即可求解；

（2）證得是等邊三角形即可證得結論；

（3）①根據題意，當或時，或面積最大，利用三角形中位線定理可求得的長，利用勾股定理可求得，即可求得答案；

②根據點M的運動軌跡是半徑為2的，則的中點的運動軌跡也是圓，同樣，的中點的運動軌跡也是圓，據此即可求得答案．

∵二次函數的圖象與軸交于兩點，

∴，

解得：，

故答案為：，；

（2）由(1)得：拋物線的解析式為，

∵二次函數的圖象與軸交于兩點，

∴拋物線的對稱軸為：，

∴頂點的坐標為：，，

∵，

，

∴，

∴是等邊三角形，

∵為線段中點，

∴；

（3）①∵為定值，當時，面積最大，如圖，

由(2)得，，，

∴∥，

∵點為線段中點，點為的中點，

∴∥，,

∴三點共線，

在Rt中，，，

∴，

∴；

同理，當時，面積最大，

同理可求得：；

故答案為：或；

②如圖，

∵點E的運動軌跡是，半徑為，

∴的中點的運動軌跡也是圓，半徑為1，

∴的中點M的運動軌跡也是圓，半徑為，

∴點M運動的路徑長為：．

故答案為：．