Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0，
（1）當k為何值時，方程有實數根；
（2）設x1 ， x2是方程的兩個實數根，且x12+x22=4，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：要使方程有實數根，必須△≥0

即4（k﹣1）2﹣4k2≥0

解得k≤ ，∴當k≤ 時，方程有實數根．

（2）解：由韋達定理得，x1+x2=2（k﹣1），x1x2=k2

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2

=4（k﹣1）2﹣2k2

=2k2﹣8k+4，

∵x12+x22=4，

∴2k2﹣8k+4=4

解得k1=0，k2=4，

由（1）知k≤ ，∴k=4不合題意，

∴k=0．

【解析】（1）根據△≥0，確定k的取值范圍；（2）把x12+x22=4轉化成（x1+x2）2﹣2x1x2=4，再把x1+x2=2（k﹣1），x1x2=k2代入，得到關于k的方程，即可求得k的值．
【考點精析】關于本題考查的求根公式和根與系數的關系，需要了解根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商才能得出正確答案．