Question

【題目】在Rr△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，點O為AB的中點，點D、E分別為AC、AB邊上的動點，且保持DO⊥EO，連接CO、DE交于點P．

（1）求證：OD＝OE；

（2）在運動的過程中，DPEP是否存在最大值？若存在，請求出DPEP的最大值；若不存在，請說明理由．

（3）若CD＝2CE，求DP的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）DPEP存在最大值為（3）PG＝，PD＝

【解析】

（1）證明△ADO≌△CEO，可得OD＝OE；

（2）先根據對角互補證明D、C、E、O四點共圓，再得△DPO∽△CPE，列比例式可得：PDEP＝CPPO，設CP＝x，則OP＝﹣x，則CPPO＝x（﹣x ）＝﹣，根據二次函數的最值問題得出DPEP存在最大值為；

（3）設CE＝a，則CD＝2a，根據AC＝1列等式求出，a＝，則CE＝，CD＝，根據勾股定理求DE的長，作輔助線構建平行線，得相似，列比例式可求得DP的長．

證明：（1）∵AC＝BC＝1，點O為AB的中點，

∴CO⊥AB，CO＝AO，

∴∠COA＝90°，

∴∠DOP+∠AOD＝90°，

∵DO⊥OE，

∴∠DOP+∠POE＝90°，

∴∠AOD＝∠POE，

同理∠A＝∠OCE，

∴△ADO≌△CEO，

∴OD＝OE；

（2）∵∠ACB＝90°，∠DOE＝90°，

∴∠ACB+∠DOE＝180°，

∴D、C、E、O四點共圓，

∴∠ODP＝∠PCE，∠DPO＝∠CPE，

∴△DPO∽△CPE，

∴，

∴PDEP＝CPPO，

在Rt△ACB中，AB＝，

∴CO＝AO＝BO＝，

設CP＝x，則OP＝﹣x，

則CPPO＝x（﹣x ）＝﹣＝﹣（x﹣）2+，

即當x＝時，CPPO有最大值為，

也就是DPEP存在最大值為；

（3）設CE＝a，則CD＝2a，

由（1）得：AD＝CE＝a，

∵AC＝1，

∴a+2a＝1，

a＝，

∴CE＝，CD＝，

由勾股定理得：DE＝，

過P作PG∥BC，交AC于G，

∵∠DCO＝45°，

∴PG＝CG，

∵PG∥CE，

∴△DGP∽△DCE，

∴，

∴，

∴PG＝，PD＝．