Question

【題目】如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點.

（1）求A、B、C的坐標；

（2）點M為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N.若點P在點Q左邊，當矩形PQMN的周長最大時，求△AEM的面積；

（3）在（2）的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ.過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G（點G在點F的上方）.若FG=DQ，求點F的坐標.

Answer 1

【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），C（0，3）； （2）；（3）或（1，0）.

【解析】

試題（1）通過解析式即可得出C點坐標，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標；

（2）設M點橫坐標為m，則PM=，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周長d=，將配方，由二次函數的性質，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形的面積；

（3）設F（n，），由已知若FG=DQ，即可求得．

試題解析：解：（1）由拋物線可知，C（0，3），令y=0，則，解得x=﹣3或x=1，∴A（﹣3，0），B（1，0）；

（2）由拋物線可知，對稱軸為x=﹣1，設M點的橫坐標為m，則PM=，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）=（）×2==，∴當m=﹣2時矩形的周長最大．∵A（﹣3，0），C（0，3），設直線AC解析式為y=kx+b，解得k=1，b=3，∴解析式y=x+3，當x=﹣2時，則E（﹣2，1），∴EM=1，AM=1，∴S=AMEM=；

（3）∵M點的橫坐標為﹣2，拋物線的對稱軸為x=﹣1，∴N應與原點重合，Q點與C點重合，∴DQ=DC，把x=﹣1代入，解得y=4，∴D（﹣1，4），∴DQ=DC=，∵FG=DQ，∴FG=4，設F（n，），則G（n，n+3），∵點G在點F的上方，∴=4，解得：n=﹣4或n=1，∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．