Question

【題目】如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，若⊙O的半徑為4，則陰影部分的面積等于 ．

Answer 1

【答案】π．

【解析】

試題分析：先正確作輔助線，構造扇形和等邊三角形、直角三角形，分別求出兩個弓形的面積和兩個三角形面積，即可求出陰影部分的面積．

解：連接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，過O作OZ⊥CD于Z，

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，

∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，

由垂徑定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，

∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，

∴BM=OB×sin60°=2，OM=OBcos60°=2，

∴BD=2BM=4，

∴△BDO的面積是×BD×OM=×4×2=4，

同理△FDO的面積是4；

∵∠COD=60°，OC=OD=4，

∴△COD是等邊三角形，

∴∠OCD=∠ODC=60°，

在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2，

∴S扇形OCD﹣S△COD=﹣×4×2=π﹣4，

∴陰影部分的面積是：4+4+π﹣4+π﹣4=π，

故答案為：π．