Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下的定義：若⊙C上存在兩個點A、B，使得∠APB＝60°，則稱P為⊙C的可視點．

（1）當⊙O的半徑為1時，

①在點、E(1，1)、F(3，0)中，⊙O的可視點是______．

②過點M(4，0)作直線l：y=kx+b，若直線l上存在⊙O的可視點，求b的取值范圍；

（2）若T(t，0)，⊙T的半徑為1，直線y=上存在⊙T的可視點，且所有可視點構成的線段長度為n，若，直接寫出t 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①D、E，②；（2）或

【解析】

（1）①根據題意舉例說明即可；

②當直線l與半徑為2的⊙O相切時，利用sin∠AMO＝，可求得∠AMO＝30°，進而可求得OE長，從而可得b的取值范圍；

（2）當t＞0時，先求直線y＝與半徑為2的⊙T相切時的t的值，再求直線y＝與半徑為2的⊙T相交且所截線段長為時的t的值，進而求得t的取值范圍．

解：（1）①如圖，過點D作DA∥x軸，DB∥y軸，可得∠ADB＝90°，當點A、B在圓上越來越靠近時，∠ADB可以為60°，則點D是可視點；

如圖，過點E作⊙O的切線EA、EB，則∠OAE＝∠OBE ＝90°

又∵∠AOB＝90°，∴∠E＝90°，

當點A、B在圓上越來越靠近時，∠AEB可以為60°，則點E是可視點；

由題意可知，當點P在⊙O外時，過點P作⊙O的切線PA、PB，則此時∠APB最大，若∠APB≥60°，則⊙O上一定存在兩個點A、B，使得∠APB＝60°．

如圖，過點P作⊙O的切線PA、PB，當∠APB＝60°時，則∠APO＝∠BPO＝30°，

在Rt△AOP中，sin∠APO＝，

∵OA＝1，

∴OP＝2

∴當OP≤2時，⊙O一定有可視點，當OP＞2時，⊙O沒有可視點．

∵點F（3,0），

∴OF＝3＞2，

∴點F不是可視點

故答案為：D、E．

②由①得，若直線l上存在⊙O的可視點，則直線l與半徑為2的⊙O相切或相交；

如圖，當直線l與半徑為2的⊙O相切時，

∵M(4，0)，

∴OM＝4，

∴在Rt△AOM中，sin∠AMO＝，

∴∠AMO＝30°，

∴在Rt△EOM中，tan∠EMO＝，

∴，

∴若直線l上存在⊙O的可視點，求b的取值范圍為；

（2）當y＝0時，＝0，

解得，x＝，則直線l與x軸的交點坐標為（，0），

當x＝0時，y＝，則直線l與y軸的交點坐標為（0，），

∵直線y＝上存在⊙T的可視點，且⊙T的半徑為1，

∴直線y＝與半徑為2的⊙T相交或相切

當t＞0時，

如圖，當直線y＝與半徑為2的⊙T相切時，

∵E（0，），F（，0），

∴OE＝，OF＝，

∴在Rt△EOF中，tan∠EFO＝，

∴∠TFG＝∠EFO＝60°，

∵T（t，0），

∴TF＝，

∴在Rt△TGF中，sin∠TFG＝，

∴，

如圖，當直線y＝與半徑為2的⊙T相交且CD＝時，

過點T作TH⊥CD，則

在Rt△THD中，cos∠TDH＝，

∴∠TDH＝30°，

又∵∠TFD＝60°，

∴∠DTF＝90°，

∴在Rt△TFD中，，

∴，

∵，

∴，

同理，當t＜0時，

綜上所述，t的取值范圍為：或