Question

【題目】如圖，在正方形中，是對角線與的交點，是邊上的動點（點不與重合），過點作垂直交于點，連結．下列四個結論：①；②；③；④若，則的最小值是1．其中正確結論是（ ）

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據正方形的性質，依次判定△CNB≌△DMC,△AON≌△BOM，△OCM≌△OBN，,根據全等三角形的性質以及勾股定理進行計算即可得出結論．

∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90，

∴∠BCN＋∠DCN＝90，

又∵CN⊥DM，

∴∠CDM＋∠DCN＝90，

∴∠BCN＝∠CDM，

又∵∠CBN＝∠DCM＝90，

∴△CNB≌△DMC（ASA），

∴BN=CM,

故AN=BM

∵AO=BO，∠OAN＝∠OBM=45°，

∴△AON≌△BOM，

∵BO=CO，∠OCM＝∠OBN =45°，

∴△OCM≌△OBN，

∴=S△OBN+ S△BOM= S△OBN+S△AON=S△AOB=

即，①正確；

∵△AON≌△BOM，

∵∠MON＝∠BOM+∠BON=∠AON +∠BON=90°，ON=OM

∴△MNO是等腰直角三角形，

∴MN=

∵△MNB是直角三角形，

∴

又CM=BN

∴

即，②正確；

∵∠CON＝90°+∠BON, ∠DOM＝90°+∠COM，∠BON=∠COM

∴∠CON＝∠DOM

又CO=DO, ON=OM,

∴，③正確；

④∵AB＝2，

∴S正方形ABCD＝4，

∵△OCM≌△OBN，

∴四邊形BMON的面積＝△BOC的面積＝1，即四邊形BMON的面積是定值1，

∴當△MNB的面積最大時，△MNO的面積最小，

設BN＝x＝CM，則BM＝2x，

∴△MNB的面積＝x（2x）＝ x2＋x＝ （x1）2＋，

∴當x＝1時，△MNB的面積有最大值，

此時S△OMN的最小值是1 ＝，

故④不正確；