Question

【題目】（1）問題發現：

如圖①，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，點 B 在線段AE 上，點 C 在線段AD 上，請直接寫出線段 BE 與線段 CD 的數量與位置關系是關系： ；

（2）操作探究：

如圖②，將圖①中的△ABC 繞點 A 順時針旋轉α（0°＜α＜360°），（1）小題中線段 BE 與線段 CD 的關系是否成立？如果不成立，說明理由，如果成立，請你結合圖②給出的情形進行證明；

（3）解決問題：

將圖①中的△ABC 繞點 A 順時針旋轉α（0°＜α＜360°），若 DE=2AC，在旋轉的過程中，當以 A、B、C、D 四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，在備用圖中畫出其中的一個情形，并寫出此時旋轉角α的度數是 度．

Answer 1

【答案】（1）BE=CD，BE⊥CD（2）成立（3）45°或 225°或 315°

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質可得AB=AC，AE=AD，再根據等量關系可得線段BE與線段CD的關系；
（2）根據等腰直角三角形的性質可得AB=AC，AE=AD，根據旋轉的性質可得∠BAE=∠CAD，根據SAS可證△BAE≌△CAD，根據全等三角形的性質即可求解；
（3）根據平行四邊形的性質可得∠ABC=∠ADC=45°，再根據等腰直角三角形的性質即可求解．

（1）∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，

∴AB=AC，AE=AD，BE⊥CD，

∴AE﹣AB=AD﹣AC，

∴BE=CD；

故答案為：BE=CD，BE⊥CD；

（2）（1）結論成立，

理由：如圖，

∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，

∴AB=AC，AE=AD，

由旋轉的性質得，∠BAE=∠CAD，

在△BAE 與△CAD 中， ，

,

∴△BAE≌△CAD（SAS）

∴BE=CD；∠AEB=∠ADC，

∴∠BED+∠EDF=∠AED+∠AEB+∠EDF=∠AED+∠ADC+∠EDF=∠AED+∠ADE=90°，

∴EFD=90°， 即：BE⊥CD

（3）如圖，

∵以 A、B、C、D 四點為頂點的四邊形是平行四邊形，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ADC=45°，

∵ED=2AC，

∴AC=CD，

∴∠CAD=45°

或360°﹣90°﹣45°=225°，或 360°﹣45°=315°

∴角α的度數是 45°或 225°或 315°．

故答案為：45°或 225°或 315（其中一種情況就可以）．