Question

【題目】如圖，正方形ABCD，AB=6，點E在邊CD上，CE=2DE，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF，下列結論：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FCA=3.6，其中正確結論是_____．

Answer 1

【答案】①②③④⑤．

【解析】先計算出DE=2，EC=4，再根據折疊的性質AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根據“HL”可證明Rt△ABG≌Rt△AFG，則GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；設BG=x，則GF=x，CG=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，根據勾股定理得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，則BG=CG=3，則點G為BC的中點；同時得到GF=GC，根據等腰三角形的性質得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根據三角形外角性質得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根據平行線的判定方法得到CF∥AG；過F作FH⊥DC，則△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比為，可計算S△FGC．根據同底等高的三角形的面積相等即可得到結論．

解：∵正方形ABCD的邊長為6，CE=2DE，

∴DE=2，EC=4，

∵把△ADE沿AE折疊使△ADE落在△AFE的位置，

∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，

在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB=AE，AG=AG，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），

∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，

∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=∠BAD=45°，所以①正確；

設BG=x，則GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x，

在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x，

∵CG2+CE2=GE2，

∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，

∴BG=3，CG=6﹣3=3

∴BG=CG，所以②正確；

∵EF=ED，GB=GF，

∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正確；

∵GF=GC，

∴∠GFC=∠GCF，

又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，

∴∠AGB=∠AGF，

而∠BGF=∠GFC+∠GCF，

∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，

∴∠AGB=∠GCF，

∴CF∥AG，所以④正確；

過F作FH⊥DC

∵BC⊥DH，

∴FH∥GC，

∴△EFH∽△EGC，

∴=，

EF=DE=2，GF=3，

∴EG=5，

∴△EFH∽△EGC，

∴相似比為： =，

∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×3）==3.6，

連接AC，

∵CF∥AG，

∴S△FCA=S△FGC=3.6，

所以⑤正確．

故正確的有①②③④⑤，

故答案為：①②③④⑤．

“點睛”本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.也考查了三角形全等的判定與性質，勾股定理和正方形的性質.