Question

【題目】在平直角坐標系中，規定：拋物線的相關直線為．例如：二次函數的相關直線為．

（1）直接寫出拋物線的相關直線，并求出拋物線與其相關直線的交點坐標；

（2）如圖，拋物線與它的相關直線交于、兩點．

①求拋物線的解析式；

②連結，求的面積；

③作，過拋物線上一動點(不與、重合)作直線的平行線交于點，若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1），交點坐標為，；（2）①；②10；③，

【解析】

（1）根據原文所給的概念直接寫出拋物線的相關直線，然后聯立二者得到方程組，最后求出方程組的解即可；

（2）①根據相關直線的概念結合題意直接得出，，然后將點B的坐標代入求得，由此即可得出該拋物線的解析式；②首先根據拋物線解析式求出對稱軸，從而得出點A坐標，最后根據三角形面積公式進一步計算即可；③首先根據題意得出AB=4，然后利用等腰三角形性質得知點M在AB的垂直平分線上，由此進一步求解得出點M坐標為(3，2)，然后設點P坐標為(，)，點Q坐標為(，)，最后根據平移的性質列出相應的方程組加以分析求解即可.

（1）∵拋物線的相關直線為，

∴的相關直線為：，

聯立二者可得：，

解得：或，

∴交點坐標為(0，1)，(，4)；

（2）①由題意得：，，

∵點在上，點B橫坐標為0，

∴點B坐標為(5，0)，

∵拋物線過點，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為；

②∵拋物線解析式為：，

∴該拋物線對稱軸為：，

∵點B坐標為(5，0)，

∴點坐標為(1，0)，

∴；

③∵點A坐標為(1，0)，點B坐標為(5，0)，點C坐標為(0，5)，

∴AB=4，∠ABC=45°，

∵AM⊥BC，

∴△ABM為等腰直角三角形，

∴點M在AB的垂直平分線上，

∴點M的橫坐標為1+2=3，

由此將橫坐標3代入可得：，

∴點M坐標為(3，2)，

設點P坐標為(，)，點Q坐標為(，)，

根據平移的性質可得：

或，

解得：（舍去），或

綜上所述，點P的橫坐標為：，.