Question

【題目】（1） 問題發現：如圖， 在中，，， 點是的中點， 以點為頂點作正方形， 使點，分別在和DF上， 連接，，則線段和數量關系是 ．

（2） 類比探究：如圖， 保持固定不動， 將正方形繞點旋轉，則中的結論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由

（3）解決問題：若，在的旋轉過程中，連接，請直接寫出的最大值

Answer 1

【答案】（1）BE＝AF；（2）成立，理由詳見解析；（3）3

【解析】

(1)證明△ADF≌△BDE即可得到結論；

(2) 連接AD，證明△BDE≌△ADF即可；

(3) 由正方形DFGE繞點D旋轉，故以點D為圓心DE為半徑作圓，當點E旋轉至點M，且點A、D、M三點共線時AE有最大值，根據等腰三角形的性質求出AD=BC=1，根據正方形的性質求出DE=DM=DF=2，即可得到AM=3.

解：（1）∵， 點是的中點，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴∠ADC=∠ADB=90°，

∵，，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠BAD=∠ABC=45°，

∴AD=BD，

∵四邊形為正方形，

∴DE=DF，

∴△ADF≌△BDE，

∴BE＝AF；

（2）成立，理由如下，如圖2，連接AD，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC中點，

∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，

∴∠2＋∠3＝90°，

∵四邊形EDFG為正方形，

∴DE＝DF，∴∠EDF＝90°，

∴∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3，

∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF．

（3）由正方形DFGE繞點D旋轉，故以點D為圓心DE為半徑作圓，當點E旋轉至點M，且點A、D、M三點共線時AE有最大值，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC中點，

∴AD=BC=1，

∵四邊形EDFG為正方形，

∴DE=DM=DF=2，

∴AM=AD+DM=1+2=3，

∴AE的最大值為3.