Question

如圖，一條直線與反比例函數y=  的圖象交于A(,2)，B(2,n)兩點，與軸交于D點， AC⊥軸，垂足為C．

(1)如圖甲，反比例函數的解析式為：______________；點D坐標為___________；
(2)如圖乙，若點E在線段AD上運動，連結CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F點．
①試說明△CDE∽△EAF；
②當△ECF為等腰三角形時，請求出F點的坐標．

Answer 1

（1）① y =  …………1分        ②D (,0) ………1分
（2）①證明略.…2分
②F₁(,2)；F₂(,1)；F₃(,4－2)………3分(共7分)

（1）因為反比例函數圖像過點A(,2)，所以，所以反比例函數解析式為
y = ，令，則，所以，B（2，），設直線解析式為，
把A、B兩點坐標代入，可得，所以直線解析式為
當時，，故D點坐標為(,0)
①證明：∵A（,2），D（，0），AC⊥x軸
∴C（，0）
∴AC=CD=2，
即∠ADC=∠CAD=45°，
∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°，
∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°，
∴∠ECD=∠AEF，
△CDE和△EAF的兩角對應相等，
∴△CDE∽△EAF．
②當CE=FE時，由△CDE≌△EAF可得AE=CD=2，∴F₁(,2)
當CE=CF時，由∠FEC=45°知∠ACE=90°，此時E與D重合，∴F與A重合∴F₂(,1)
當CF=EF時，由∠FEC=45°知∠CFE=90°，顯然F為AC中點∴F₃(,4－2)
當△ECF為等腰三角形時，點F的坐標為F₁(,2)；F₂(,1)；F₃(,4－2)