Question

定義一種變換：平移拋物線F₁得到拋物線F₂，使F₂經過F₁的頂點A．設F₂的對稱軸分別交F₁，F₂于點D，B，點C是點A關于直線BD的對稱點．

（1）如圖1，若F₁：y=x²，經過變換后，得到F₂：y=x²+bx，點C的坐標為（2，0），則：
①b的值等于______；
②四邊形ABCD為（　　）
A、平行四邊形；B、矩形；C、菱形；D、正方形．
（2）如圖2，若F₁：y=ax²+c，經過變換后，點B的坐標為（2，c-1），求△ABD的面積；
（3）如圖3，若F₁：y=

1

3

x²-

2

3

x+

7

3

，經過變換后，AC=2

3

，點P是直線AC上的動點，求點P到點D的距離和到直線AD的距離之和的最小值．

Answer 1

（1）-2；D；

（2）∵F₂：y=a（x-2）²+c-1，
而A（0，c）在F₂上，可得a=

1

4

．
∴DB=（4a+c）-（c-1）=2，
∴S_△ABD=2；

（3）當點C在點A的右側時（如圖1），
設AC與BD交于點N，
拋物線y=

1

3

x²-

2

3

x+

7

3

，配方得y=

1

3

（x-1）²+2，
其頂點坐標是A（1，2），
∵AC=2

3

，
∴點C的坐標為（1+2

3

，2）．
∵F₂過點A，
∴F₂解析式為y=

1

3

（x-1-

3

）²+1，
∴B（1+

3

，1），
∴D（1+

3

，3）
∴NB=ND=1，
∵點A與點C關于直線BD對稱，
∴AC⊥DB，且AN=NC
∴四邊形ABCD是菱形．
∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于點H，則PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是點B到AD的距離，即△ABD邊AD上的高h．
∵DN=1，AN=

3

，DB⊥AC，
∴∠DAN=30°，
故△ABD是等邊三角形．
∴h=

3

2

AD=

3

∴最小值為

3

．
當點C在點A的左側時（如圖2），同理，最小值為

3

．
綜上，點P到點D的距離和到直線AD的距離之和的最小值為

3

．