Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左則，B點的坐標為(3，0)，與y軸交于C(0，―3)點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點。

⑴求這個二次函數的表達式；
⑵連結PO、PC，在同一平面內把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；
⑶當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大，并求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

(1);(2) (3) P點的坐標為，四邊形ABPC的面積的最大值為.

試題分析：（1）把B、C兩點的坐標代入二次函數y=x²+bx+c即可求出bc的值，故可得出二次函數的解析式；
（2）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點E，設P（x，x²-2x-3），易得，直線BC的解析式為y=x-3則Q點的坐標為（x，x-3），再根據S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△BPQ+S_△CPQ即可得出結論．
試題解析：⑴將B、C兩點坐標代入得
解得：. 所以二次函數的表示式為： 
⑵存在點P，使四邊形POP′C為菱形，設P點坐標為，PP′交CO于E，
若四邊形POP′C是菱形，則有PC＝PO，連結PP′，則PE⊥OC于E，
∴OE＝EC＝，
∴
∴，
解得，（不合題意,舍去）
∴P點的坐標為
⑶過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P，易得，直線BC的解析式為,則Q點的坐標為






當時，四邊形ABPC的面積最大
此時P點的坐標為，四邊形ABPC的面積的最大值為.
考點: 二次函數綜合題．