Question

【題目】如圖，以△ABC的邊BC為直徑的⊙O交AC于點D，過點D作⊙O的切線交AB于點E．

（1）如圖1，若∠ABC=90°，求證：OE∥AC；

（2）如圖2，已知AB=AC，若sin∠ADE=， 求tanA的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）tan∠A=．

【解析】

（1）連結OD，如圖1，先根據切線的性質得到∠ODE=90°，然后通過HL證明Rt△OBE≌Rt△ODE，得到∠1=∠2，利用三角形的外角性質得到∠2=∠C，再根據平行線的判定定理即可得證；

（2）連結OD，作OF⊥CD于F，DH⊥OC于H，如圖2，易證∠A=∠COD，根據切線的性質與兩角互余可得∠ADE=∠DOF，則在Rt△DOF中，sin∠DOF==，設DF=x，則OD=3x，然后用含x的式子表示相關線段的長，然后求得tanA的值即可.

解:（1）證明：連結OD，如圖1，

∵DE為⊙O的切線，

∴OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，

在Rt△OBE和Rt△ODE中，

，

∴Rt△OBE≌Rt△ODE，

∴∠1=∠2，

∵OC=OD，

∴∠3=∠C，

而∠1+∠2=∠C+∠3，

∴∠2=∠C，

∴OE∥AC；

（2）解：連結OD，作OF⊥CD于F，DH⊥OC于H，如圖2，

∵AB=AC，OC=OD，

而∠ACB=∠OCD，

∴∠A=∠COD，

∵DE為⊙O的切線，

∴OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，

∴∠ADE+∠ODF=90°，

而∠DOF+∠ODF=90°，

∴∠ADE=∠DOF，

∴sin∠DOF=sin∠ADE=，

在Rt△DOF中，sin∠DOF==，

設DF=x，則OD=3x，

∴OF==2x，DF=CF=x，OC=3x，

∵DHOC=OFCD，

∴DH==x，

在Rt△ODH中，OH==x，

∴tan∠DOH===，

∴tan∠A=．