Question

【題目】Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．∠MDN=900，∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點(diǎn)．下列結(jié)論

①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD與EF可能互相平分，

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

∵Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．∠MDN=900，

∴AD =DC，∠EAD=∠C=450，∠EDA=∠MDN－∠ADN =900－∠AND=∠FDC。

∴△EDA≌△FDC（ASA）。∴AE=CF。∴BE+CF=" BE+" AE=AB。

在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB=BC。∴(BE+CF)=BC。∴結(jié)論①正確。

設(shè)AB=AC=a，AE=b，則AF="BE=" a－b。

∴。

∴。∴結(jié)論②正確。

如圖，過點(diǎn)E作EI⊥AD于點(diǎn)I，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，ADEF相交于點(diǎn)O。

∵四邊形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，

∴EO≥EI（EF⊥AD時(shí)取等于）=FH=GD，

OF≥GH（EF⊥AD時(shí)取等于）=AG。

∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD。∴結(jié)論④錯(cuò)誤。

∵△EDA≌△FDC，

∴。∴結(jié)論③錯(cuò)誤。

又當(dāng)EF是Rt△ABC中位線時(shí)，根據(jù)三角形中位線定理知AD與EF互相平分。

∴結(jié)論⑤正確。

綜上所述，結(jié)論①②⑤正確。故選C。