Question

如圖：已知拋物線y₁=-x²-2x+8的圖象交x軸于點A，B兩點，與y軸的正半軸交于點C．拋物線y₂經過B、C兩點且對稱軸為直線x=3．
（1）確定A、B、C三點的坐標；
（2）求拋物線y₂的解析式；
（3）若過點（0，3）且平行于x軸的直線與拋物線y₂交于M、N兩點，以MN為一邊，拋物線y₂上任意一點P（x，y）為頂點作平行四邊形，若平行四邊形的面積為S，寫出S關于P點縱坐標y的函數解析式．

Answer 1

分析：（1）把x=0代入拋物線y₁可以求出點C的坐標，把y=0代入拋物線y₁可以求出點A和點B的坐標．（2）知道拋物線的對稱軸，設出拋物線的頂點式，然后把B，C兩點的坐標代入，用待定系數法求出拋物線y₂的解析式．（3）先求出點M，N的坐標，確定線段MN的長度，然后分別考慮點P在MN上方和下方兩種情況求出平行四邊形的面積S關于點P縱坐標y的函數關系式．

解答：解：（1）∵拋物線y₁=-x²-2x+8與y軸正半軸交于C
∴由拋物線y₁=-x²-2x+8可知C點坐標為（0，8）
∵拋物線y₁=-x²-2x+8與x軸的交點即y=0
∴把y=0代入到y₁=-x²-2x+8得：-x²-2x+8=0解得：x₁=-4 x₂=2
∴由圖可知A點坐標為（-4，0），B點坐標為（2，0）

（2）設拋物線y₂的解析式為y₂=a（x-h）²+k
∵對稱軸為直線x=3
∴y₂=a（x-3）²+k
把B（2，0），C（0，8）代入y₂=a（x-3）²+k得：

a(2-3)2+k=0 a(0-3)2+k=8

解得：

a=1 k=-1

∴拋物線y₂=（x-3）²-1

（3）∵拋物線y₂=（x-3）²-1與過點（0，3）平行于x軸的直線相交于M點和N點
∴把y=3代入拋物線y₂=（x-3）²-1得：（x-3）²-1=3解得：x₁=1；x₂=5
∴M點坐標（1，3），N點坐標（5，3）
∴MN=4
∵拋物線y₂=（x-3）²-1
∴拋物線頂點坐標為（3，-1）
當y＞3時，平行四邊開的面積為：
S=4（y-3）=4y-12
當-1≤y＜3時，平行四邊形的面積為：
S=4（3-y）=-4y+12

點評：本題考查的是二次函數的綜合題，（1）分別把x=0和y=0代入二次函數，求出拋物線與兩坐標軸的交點坐標．（2）根據題意列出拋物線的頂點式，然后用待定系數法求出拋物線的解析式．（3）先求出平行四邊形的一邊MN的長，然后用平行四邊形的面積等于底乘以高，得到面積S關于點P的縱坐標的函數關系式．