Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，點M是BC的中點，且MN⊥DE，垂足為點N

⑴求證：ME=MD；

⑵若BC=20cm，ED=12cm，求MN的長

⑶如果BD平分∠ABC，求證：AC=4EN．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）MN=8；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據直角三角形的性質得到DM=BC，EM=BC，等量代換即可證明；

（2）由ME=MD及MN⊥DE可得MN平分ED，由勾股定理即可求得MN的長；

（3）證明△ABD≌△CBD，根據全等三角形的性質得到AD=CD，根據直角三角形的性質，等腰三角形的性質證明．

（1）∵BD是邊AC上的高，

∴∠BDC=90°，

∵點M是BC的中點，

∴DM=BC，

同理，EM=BC，

∴ME=MD；

（2）由（1）知EM=BC=10cm，

∵ME=MD，MN⊥DE，

∴EN=ED=6cm，

由勾股定理得MN==8cm；

（3）∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，．

∵BD是邊AC上的高，

∴∠ADB=∠CDB=90°．

在△ABD和△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD（ASA），

∴AD=CD，

∵CE是邊AB上的高，

∴∠CEA=90°，

∴AC=2ED，

∵ME=MD，MN⊥DE，

∴DE=2EN，

∴AC=4EN．