Question

【題目】如果有一列數，從這列數的第2個數開始，每一個數與它的前一個數的比等于同一個非零的常數，這樣的一列數就叫做等比數列（Geometric Sequences）．這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．

（1）觀察一個等比列數1，，…，它的公比q＝　 　；如果an（n為正整數）表示這個等比數列的第n項，那么a18＝　 　，an＝　 　；

（2）如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步驟進行：

令S＝1+2+4+8+16+…+230…①

等式兩邊同時乘以2，得2S＝2+4+8+16++32+…+231…②

由② ﹣ ①式，得2S﹣S＝231﹣1

即（2﹣1）S＝231﹣1

所以

請根據以上的解答過程，求3+32+33+…+323的值；

（3）用由特殊到一般的方法探索：若數列a1，a2，a3，…，an，從第二項開始每一項與前一項之比的常數為q，請用含a1，q，n的代數式表示an；如果這個常數q≠1，請用含a1，q，n的代數式表示a1+a2+a3+…+an．

Answer 1

【答案】（1） ， ， ；（2）；（3）

【解析】

（1）÷1即可求出q，根據已知數的特點求出a18和an即可；
（2）根據已知先求出3S，再相減，即可得出答案；
（3）根據（1）（2）的結果得出規律即可．

解：（1）÷1＝，

a18＝1×（）17＝，an＝1×（）n﹣1＝，

故答案為：，，；

（2）設S＝3+32+33+…+323，

則3S＝32+33+…+323+324，

∴2S＝324﹣3，

∴S＝

（3）an＝a1qn﹣1，a1+a2+a3+…+an＝．