Question

如圖，AB是半圓O的直徑，BC是弦，點P從點A開始，沿AB向點B以1cm/s的速度移動，若AB長為10cm，點O到BC的距離為4cm．
（1）求弦BC的長；
（2）問經過幾秒后△BPC是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）作OD⊥BC于D，易求得BC=2BD=6cm；
（2）由題意知，PB=AB=10-t，故有三種情況，BP=BC或PC=PB或BC=BP，分別求解．

解答：解：（1）作OD⊥BC于D，由垂徑定理知，點D是BC的中點，BD=

1

2

BC，
∵OB=

1

2

AB=5，OD=4，
由勾股定理得，BD=

OB2-OD2

=3，
∴BC=2BD=6cm；

（2）設經過t秒后，△BPC是等腰三角形，
①當PC為底邊時，有BP=BC，10-t=6，解得：t=4（秒）；
②當BC為底邊時，有PC=PB，P點與O點重合，此時t=5（秒）；
③當PB為底邊時，有PC=BC，連接AC，作CE⊥AB于E，
則BE=

10-t

2

，AE=

10+t

2

，
∵AB是直徑，
∴△ABC是直角三角形，
根據勾股定理AC=

AB2-BC2

=

102-62

=8，
由AC²-AE²=BC²-BE²，
64-（

10+t

2

）²=36-（

10-t

2

）²，
解得：t=2.8（秒）．
綜上，經過4秒或5秒或2.8秒時，△BPC是等腰三角形．

點評：本題利用了垂徑定理，勾股定理求解，注意當△BPC是等腰三角形時，點P的位置有三種情況．