Question

【題目】已知，，，是的中點，是平面上的一點，且，連接.

（1）如圖，當點在線段上時，求的長；

（2）當是等腰三角形時，求的長；

（3）將點繞點順時針旋轉得到點，連接，求的最大值．

Answer 1

【答案】(1)2;(2)見解析;(3) .

【解析】

（1）根據勾股定理求出AB的長，由直角三角形斜邊中線的性質可求出CD的長，利用勾股定理求出PC的長即可；（2）由DP=1可知點P在以D為圓心，1為半徑的圓上，分別討論、、的情況，求出PC的長即可；（3）由旋轉性質可知，，可得，由等腰直角三角形的性質可知，進而可證明∽，即可得，利用三角形三邊關系即可得答案.

（1）如圖1中，連接．

在中，，，

∴，

∵，

∴，，

在中，．

（2）如圖2中，∵，

∴點在以點為圓心的⊙上．

①當時，

∵，

∴都在線段的垂直平分線上，設直線交于．

∴，，

∵，

∴，

在中，，

當在線段上時，，，

當在線段的延長線上時，，．

②當時，∵，

∴，此種情形不存在；

③當時，同理這種情形不存在；

如圖3中

（3）如圖4中，連接．

由旋轉可知：，，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴∽，

∴，

∵，

∴點落在的延長線與⊙的交點處，的值最大，

∴．

∴的最大值為．