Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，F為邊AB的中點，DF與對角線AC交于點G，過點G作GE⊥AD于點E.若AB=2，且∠1=∠2，則下列結論：①DF⊥AB；②CG=2GA；③CG=DF+GE；④S四邊形BFOC=.其中正確的有（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據“菱形的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質和直角三角形的相關性質”結合“已知條件”進行分析解答即可.

（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠FAG=∠EAG，∠1=∠GAD，AB=AD，

∵∠1=∠2，

∴∠GAD=∠2，

∴AG=GD，

∵GE⊥AD，
∴GE垂直平分AD，

∴AE=ED，

∵F為邊AB的中點，

∴AF=AE，

在△AFG和△AEG中， ，

∴△AFG≌△AEG（SAS），

∴∠AFG=∠AEG=90°，

∴DF⊥AB，故結論①正確；
（2）如圖1，連接BD交AC于點O，

∵DF⊥AB，F為邊AB的中點，

∴AF=AB=1，AD=BD，

又∵菱形ABCD中，AB=AD，

∴AD=BD=AB，

∴△ABD為等邊三角形，

∴∠BAD=∠BCD=60°，

∴∠BAC=∠1=∠2=30°，

∴AC=2AO=2ABcos∠BAC=2×2×，AG=，

∴CG=AC-AG=，

∴CG=2GA，故②中結論正確；

（3）∵GE垂直平分AD，

∴ED=AD=1，

∴GE=tan∠2ED=tan30°×1=，

∵在Rt△ADF中，AD=2，AF=1，

∴DF=，

∴DF+GE=，

又∵CG=，

∴CG=DF+GE，故③中結論正確；

（4）∵在Rt△AOB中，∠BAC=30°，∠BOA=90°，AB=2，

∴BO=AB=1，

∵在Rt△AFG中，∠FAG=30°，∠GFA=90°，

∴FG=AF·tan30°=，

∴S四邊形BFGC=S△ABC-S△AGF

=AC·OB-AF·FG

=

=.

∴④中結論不正確；

綜上所述，上述4個結論中正確的有3個.
故選：D．