Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A、C的坐標分別為（0，8）、（6，0），以AC為直徑作⊙O，交坐標軸于點B，點D是⊙O 上一點，且，過點D作DE⊥BC，垂足為E．

（1）求證：CD平分∠ACE；

（2）判斷直線ED與⊙O的位置關系，并說明理由；

（3）求線段CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）直線ED與⊙O相切，理由見解析；（3）2

【解析】

(1)說明∠DCE=∠DAB, ∠DAB=∠ACD,從而說明CD平分∠ACE；（2）連接OD，利用∠EDC+∠DCE=90°,∠DCE=∠ACD=∠ODC，從而∠EDC+∠ODC=90°；（3）延長DO交AB于點H，求出BD的長，即BE的長，CE=BE-BC.

（1）∵四邊形ABCD是⊙O內接四邊形，∴∠BAD+∠BCD=180°，

又∵∠BCD+∠DCE=180°， ∴∠DCE=∠BAD，

∵＝， ∴∠BAD=∠ACD，

∴∠DCE=∠ACD， ∴CD平分∠ACE．

（2）直線ED與⊙O相切．連接OD．

∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，

又∵∠DCE=∠ACD，∴∠DCE=∠ODC，

∴OD∥BE，∴∠ODE=∠DEC，

又∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，

∴∠ODE=90° ∴OD⊥DE，

∴ED與⊙O相切．

（3）延長DO交AB于點H．

∵OD∥BE，O是AC的中點， ∴H是AB的中點，

∴HO是△ABC的中位線，

∴HO=BC=3，

又∵AC為直徑， ∴∠ADC=90°，

又∵O是AC的中點

∴OD=AC=×=5，

∴HD=3+5=8，

∵∠ABC=∠DEC=∠ODE=90°，

∴四邊形BEDH是矩形，

∴BE=HD=8，

∴CE=8﹣6=2．