Question

【題目】如圖，在等腰三角形ABC中，已知|AB|=|AC|=1，∠A=120°，E，F分別是AB，AC上的點，且 ，（其中λ，μ∈（0，1）），且λ+4μ=1，若線段EF，BC的中點分別為M，N，則 的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：連接AM、AN， ∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，
∴ =| || |cos120°=﹣
∵AM是△AEF的中線，
∴ = （ + ）= （λ +μ ）
同理，可得 = （ + ），
由此可得 = ﹣ = （1﹣λ） + （1﹣μ）
∴ =[ （1﹣λ）+ （1﹣μ）]2= （1﹣λ）2+ （1﹣λ）（1﹣μ） +（1﹣μ）2= （1﹣λ）2﹣ （1﹣λ）（1﹣μ）+ （1﹣μ）2 ，
∵λ+4μ=1，可得1﹣λ=4μ，
∴代入上式得 = ×（4μ）2﹣ ×4μ（1﹣μ）+（1﹣μ）2= μ2﹣ μ+
∵λ，μ∈（0，1），
∴當μ=時， 的最小值為 ，此時| |的最小值為 ．
所以答案是：

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面向量的基本定理及其意義的相關知識，掌握如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數、，使．