Question

【題目】如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，且交⊙O于點D，過點D作DE∥BC，交AB的延長線于點E，連接BD、CD．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AB＝8，AC＝6，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，根據圓周角定理求得∠COD＝2∠DAC＝90°，∠BOD＝2∠BAD＝90°，再根據平行線的性質可求OD⊥ED，即可證得DE是⊙O的切線；
（2）根據勾股定理求得BC的長，從而求得OB的長，然后求得BD、CD的長，再根據邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，求得∠ACD＝∠DBE，再證得△EBD∽△DCA，得到，由此求得BE的長．

（1）證明：連接OD．

∵∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝45°．

∴∠COD＝2∠DAC＝90°．

∠BOD＝2∠BAD＝90°．

∵DE∥BC，∴∠COD＝∠EDO＝90°．

∵∠EDO＝90°，∴OD⊥ED．

∵OD為半徑，OD⊥ED，垂足為點D，∴DE是⊙O的切線．

（2）解：∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直徑．

在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，BC＝ ＝10 ，∴OB＝OC＝OD＝5．

∵OB＝OD＝5，∴∠OBD＝∠ODB＝（180°－∠BOD）＝45°．

∴∠BDE＝∠EDO－∠ODB＝45°．

在Rt△BOD中，∠BOD＝90°，BD＝ ．

在Rt△DOC中，∠COD＝90°，CD＝．

∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠ACD＋∠ABD＝180°．

又∵∠EBD＋∠ABD＝180°，∴∠ACD＝∠DBE．

∵∠ACD＝∠EBD，∠BDE＝∠DAC＝45°，∴△EBD∽△DCA．

∴．

∴．

∴EB＝．

答：BE的長為．