Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊的中線，過點A作BC的平行線，過點B作AD的平行線，兩線交于點E.

（1）求證：四邊形ADBE是矩形；

（2）連接DE，交AB于點O，若BC=8，AO=，求cos∠AED的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）cos∠ABD=.

【解析】試題分析：(1)已知AE∥BC，BE∥AD，根據兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形可得四邊形ADBE是平行四邊形，再根據等腰三角形的三線合一可判定∠ADB=90°，即可得四邊形ADCE為矩形；（2）已知在矩形ADCE中, AO=,根據矩形的性質可得

DE=AB= 5；根據D是BC的中點，可得AE=DB=4，在Rt△ABD中，即可得cos∠ABD=.

試題解析：

證明：(1)∵AE∥BC，BE∥AD,

∴四邊形ADBE是平行四邊形.

∵AB=AC，AD是BC邊的中線，

∴AD⊥BC.

即∠ADB=90°.

∴四邊形ADCE為矩形.

（2）∵在矩形ADCE中, AO=,

∴DE=AB= 5.

∵D是BC的中點，

∴AE=DB=4

∴在Rt△ABD中，cos∠ABD=.