Question

如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（-4，0），點C為y軸上一動點，連接AC，過點C作CB⊥AC，交x軸于B．
（1）當點B坐標為（1，0）時，求點C的坐標；
（2）如果sinA和cosA是關于x的一元二次方程x²+ax+b=0的兩個實數根，過原點O作OD⊥AC，垂足為D，且點D的縱坐標為a²，求b的值．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形AOC、BOC、ABC中，根據數量關系利用勾股定理可求出點C的坐標；
（2）先利用根與系數的關系確定a、b的數量關系，再利用三角函數和三角形的面積公式求出a²的值．

解答：解：（1）在Rt△AOC中，AO²+OC²=AC²，∴4²+OC²=AC²． ①
在Rt△BOC中，BO²+OC²=BC²，∴1²+OC²=BC²． ②
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，∴AC²+BC²=5²． ③
由①、②兩式可得AC²-BC²=15，
與第③式聯立可解得BC=

5

，AC=2

5

．
∴OC=2．
∴點C的坐標為（0，2）．

（2）∵sinA和cosA是關于x的一元二次方程x²+ax+b=0的兩個實數根，
∴sinA+cosA=-a，sinA•cosA=b．
又∵sinA²+cosA²=1，
則sinA²+cosA²=（sinA+cosA）²-2sinA•cosA=a²-2b=1．
∴a²=2b+1①，
在Rt△ADE中，sinA=

DE

AD

，
在Rt△AOD中，cosA=

AD

OA

，
∴sinA•cosA=

DE

AD

•

AD

OA

=

DE

OA

=

a2

4

=b，
∴a²=4b②，
由①②，可得b=

1

2

．

點評：此題綜合考查了一元二次方程與解直角三角形的關系，難度較大．