Question

已知關于x的方程x²-（q+p+1）x+p=0（q≥0）的兩個實數根為α、β，且α≤β．
（1）試用含有α、β的代數式表示p、q；
（2）求證：α≤1≤β；
（3）若以α、β為坐標的點M（α、β）在△ABC的三條邊上運動，且△ABC頂點的坐標分別為A（1，2），B（

1

2

，1），C（1，1），問是否存在點M，使p+q=

5

4

？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為原方程有兩個相等的實數根，故判別式△=（p+q+1）²-4p=（p+q-1）²+4q≥0，且α+β=p+q+1，αβ=p，于是p=αβ，q=α+β-p-1=α+β-αβ-1；
（2）因為α≤β，故只需求（1-a）（1-β）≤0即可；
（3）先根據條件確定動點所在的邊，再確定點的坐標．

解答：解：（1）∵α、β為方程x²-（p+q+1）x+p=0（q≥0）的兩個實數根，
∴判別式△=（p+q+1）²-4p=（p+q-1）²+4q≥0，
且α+β=p+q+1，αβ=p，
于是p=αβ，
q=α+β-p-1=α+β-αβ-1；
（2）∵（1-a）（1-β）=1-（α+β）+αβ=-q≤0（q≥0），
又α≤β，
∴a≤1≤β；
（3）若使p+q=

5

4

成立，只需α+β=p+q+1=

9

4

，
①當點M（α，β）在BC邊上運動時，
由B（

1

2

，1），C（1，1），
得

1

2

≤α≤1，β=1，
而α=

9

4

-β=

9

4

-1=

5

4

＞1，
故在BC邊上存在滿足條件的點，其坐標為（

5

4

，1）所以不符合題意舍去；
即在BC邊上不存在滿足條件的點
②當點M（α，β）在AC邊上運動時，
由A（1，2），C（1，1），
得a=1，1≤β≤2，
此時β=

9

4

-α=

9

4

-1=

5

4

，
又因為1＜

5

4

＜2，
故在AC邊上存在滿足條件的點，其坐標為（1，

5

4

）；
③當點M（α，β）在AB邊上運動時，
由A（1，2），B（

1

2

，1），
得

1

2

≤α≤1，1≤β≤2，
由平面幾何知識得

1-α

1- 1 2

=

2-β

2-1

，
于是β=2α，
由

β=2α α+β= 9 4

解得α=

3

4

，β=

3

2

，
又因為

1

2

＜

3

4

＜1，1＜

3

2

＜2，
故在AB邊上存在滿足條件的點，其坐標為（

3

4

，

3

2

）．
綜上所述，當點M（α，β）在△ABC的三條邊上運動時，存在點（1，

5

4

）和點（

3

4

，

3

2

），使p+q=

5

4

成立．

點評：此題較復雜，將根與系數的關系、根的判別式與動點問題相結合，體現了運動變化的觀點．由于情況較多，需要分類討論．