Question

【題目】如圖，已知點A（﹣3，0），二次函數y=ax2+bx+ 的對稱軸為直線x=﹣1，其圖象過點A與x軸交于另一點B，與y軸交于點C．

（1）求二次函數的解析式，寫出頂點坐標；
（2）動點M，N同時從B點出發，均以每秒2個三位長度的速度分別沿△ABC的BA，BC邊上運動，設其運動的時間為t秒，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，連結MN，將△BMN沿MN翻折，若點B恰好落在拋物線弧上的B′處，試求t的值及點B′的坐標；
（3）在（2）的條件下，Q為BN的中點，試探究坐標軸上是否存在點P，使得以B，Q，P為頂點的三角形與△ABC相似？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得 ，

解得 ，

二次函數的解析式為y=﹣ x2﹣ x+

配方得y=﹣ （x+1）2+ ，

頂點坐標為（﹣1， ），

（2）

解：如圖1

，

由題意知OA=3，OB=1，ON= ，

∴∠CBA=60°，

又∵BM=BN，

∴△MBN是正三角形，

∴M（1﹣2t，0），N（1﹣t， t）．

將△BMN沿MN翻折后，得

B′N=BN=2t，∠B′NM=∠BMN=60°，

∴B′N∥BM，

∴B′（1﹣3t， t），

又點B′在拋物線上，

∴ t=﹣ （1﹣3t）2﹣ （1﹣3t）+ ，

化簡，得9t2﹣9t=0，解得t=0（不符合題意，舍）t=1，

t=1時，1﹣3t=﹣2， t= ，

∴B′（﹣2， ）；

（3）

解：由題意可得△ABC是直角三角形，且∠BAC=30°，∠ABC=60°．又Q（ ， ）．

①如圖2

，

由題意知OA=3，OB=1，

P在x軸上時，過Q作P1Q⊥BQ交x軸于P1點，

∵P1Q∥AC，

∴1BQ∽△ABC，

= = ，

解得P1B=2，OP1=1，P1（﹣1，0）；

過Q作P2Q⊥x軸于P2，

∵∠P2BQ=∠CBA，∠QPB=∠ACB，

∴QBP2∽△ABC，

= ，

解得BP2= ，OP2= ，

P2（ ，0）；

P在x軸的其它位置時，△PBQ不可能為直角三角形，不可能與△ABC相似；

②同理，當P在y軸上時，作P3Q⊥BQ交y軸于P3，

∵∠P3BQ=∠BAC=∠P3BO=30°，∠P3QB=∠ACB=90°，

∴△BP3Q∽△ABC．

∵tan∠P3BO= = ，P3O= ，

P3（0， ）．

B作P4B⊥BQ交y于P4，但 ≠ ，

∴△QBP4Y與△ABC不相似，P在y軸上其它位置時，△PQB不為直角三角形，不能與△ABC相似；

綜上所述：坐標軸上存在點P，使得以B，Q，P為頂點的三角形與△ABC相似，P點坐標為（﹣1，0），（ ，0），（0， ）．

【解析】（1）根據待定系數法，可得函數解析式，根據配方法，可得頂點坐標；（2）根據等邊三角形的判定，可得△MBN是正三角形，根據翻折的性質，可得B′N，∠B′NM，根據平行線的判定，可得B′的縱坐標，根據點的坐標滿足函數解析式，可得關于t的方程，根據解方程，可得t，可得B′的坐標；（3）根據相似三角形的判定與性質，可得答案．