Question

如圖，拋物線的對稱軸是直線x=1，它與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，點A，C的坐標分別為（-1，0），（0，

3

2

）
（1）求此拋物線對應的函數的解析式；
（2）若點P是此拋物線上位于x軸上方的一個動點，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先設函數的解析式為，y=a（x-1）²+b，然后把A，C的坐標值分別帶代入，可求出ab的值，即得函數的解析式．
（2）根據題意可知，當P是函數的頂點時，△ABP的面積最大，因為此時P點的縱坐標值最大，面積就最大．

解答：解：設函數的解析式是y=a（x-1）²+b，
把（-1，0）；（0，

3

2

）代入解析式可得；

4a+b=0 a+b= 3 2

，
解得

a=- 1 2 b=2

，
則解析式為y=-

1

2

（x-1）²+2，
化簡得：y=-

1

2

x²+x+

3

2

．

（2）設P點的坐標是（x₁，y₁），
∵S_△ABP=

1

2

AB×y₁，AB的值固定，只有當y₁最大時，則S有最大值．也就是當y₁=2時，有最大值．
令y=-

1

2

x²+x+

3

2

=0，
解得，x₁=-1，x₂=3，
即B點坐標為（3，0），
則AB=4，
那么S_△ABP=

1

2

×4×2=4．

點評：本題利用了待定系數法求函數解析式，在設函數解析式時，要根據需要來設，由于給出了對稱軸，
故應設為y=a（x-1）²+b的形式才好求，還用到了三角形的面積公式等知識．