Question

已知拋物線的頂點（－1，－4）且過點（0，－3），直線l是它的對稱軸。

（1）求此拋物線的解析式；

（2）設拋物線交x軸于點A、B（A在B的左邊），交y軸于點C，P為l上的一動點，當△PBC的周長最小時，求P點的坐標。

（3）在直線l上是否存在點M，使△MBC是等腰三角形，若存在，直接寫出符合條件的點M的坐標；若不存在請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2） （3）

【解析】

試題分析：（1）拋物線的頂點（－1，－4），則設拋物線的頂點式為，因為拋物線過點（0，－3），所以，解得a=1，所以拋物線的解析式

（2）由（1）知拋物線的解析式

∵直線l是它的對稱軸

∴它的對稱軸x=-1

拋物線交x軸于點A、B（A在B的左邊），令y=0,則，解得x=-3,x=1，所以A點的坐標（-3，0），B點的坐標（1，0）；拋物線交y軸于點C，令x=0,則，所以C點的坐標（0，-3）；P為l上的一動點，當△PBC的周長=PB+PC+BC，因為BC的長度一定，所以要使△PBC的周長最小，即PB+PC最小，作點B關于對稱軸的對稱點，坐標為（-3，0），即是A點，設過A、C的直線為y=kx+b,則

解得，所以過點A、C的直線為y=x-3,則P點即為直線為y=x-3與對稱軸的交點，解得

（3）存在，）直線l為x=-1,它與X軸的交點為N（-1，0），由（2）知B點的坐標（1，0），所以它們兩點是關于原點對稱，此時這三點構成了等腰三角形，M點即為對稱軸與X軸的交點，所以M的坐標（-1，0）；當△MBC是等腰三角形，并以BC為△MBC的底邊，設M的坐標為（-1，y）;此時需滿足MB=MC，而MB=，MC=，解得y=-1,y=,所以，當y=-1時M的坐標為，當y=，M的坐標為；綜上所述滿足條件的M的坐標為

考點：拋物線

點評：本題考查拋物線，要求考生掌握拋物線的性質，會用待定系數法求拋物線的解析式，會求拋物線與坐標軸的交點坐標，以及對稱軸