Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點P是AB邊上的一個動點，連接CP，過點P作PC的垂線交AD于點E，以 PE為邊作正方形PEFG，頂點G在線段PC上，對角線EG、PF相交于點O．
（1）若AP=1，則AE=；
（2）①求證：點O一定在△APE的外接圓上； ②當點P從點A運動到點B時，點O也隨之運動，求點O經過的路徑長；
（3）在點P從點A到點B的運動過程中，△APE的外接圓的圓心也隨之運動，求該圓心到AB邊的距離的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）①證明：∵PF⊥EG，

∴∠EOF=90°，

∴∠EOF+∠A=180°，

∴A、P、O、E四點共圓，

∴點O一定在△APE的外接圓上；

②解：連接OA、AC，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=90°，∠BAC=45°，

∴AC= =4 ，

∵A、P、O、E四點共圓，

∴∠OAP=∠OEP=45°，

∴點O在AC上，

當P運動到點B時，O為AC的中點，OA= AC=2 ，

即點O經過的路徑長為2 ；

（3）解：設△APE的外接圓的圓心為M，作MN⊥AB于N，如圖2所示：

則MN∥AE，

∵ME=MP，

∴AN=PN，

∴MN= AE，

設AP=x，則BP=4﹣x，

由（1）得：△APE∽△BCP，

∴ ，即 ，

解得：AE=x﹣ x2=﹣ （x﹣2）2+1，

∴x=2時，AE的最大值為1，此時MN的值最大= ×1= ，

即△APE的圓心到AB邊的距離的最大值為 ．

【解析】（1）解：∵四邊形ABCD、四邊形PEFG是正方形， ∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，
∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，
∴∠AEP=∠PBC，
∴△APE∽△BCP，
∴ ，即 ，
解得：AE= ；
故答案為： ；
（1）由正方形的性質得出∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余關系證出∠AEP=∠PBC，得出△APE∽△BCP，得出對應邊成比例即可求出AE的長；（2）①A、P、O、E四點共圓，即可得出結論；②連接OA、AC，由光桿司令求出AC=4 ，由圓周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°，周長點O在AC上，當P運動到點B時，O為AC的中點，即可得出答案；（3）設△APE的外接圓的圓心為M，作MN⊥AB于N，由三角形中位線定理得出MN= AE，設AP=x，則BP=4﹣x，由相似三角形的對應邊成比例求出AE=x﹣ x2=﹣ （x﹣2）2+1，由二次函數的最大值求出AE的最大值為1，得出MN的最大值= 即可．