Question

【題目】已知，如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半徑．
（3）在（2）的條件下，直接寫出tan∠CAB的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD．

∵OA=OD

∴∠OAD=∠ODA

∵∠OAD=∠DAE

∴∠ODA∠DAE．

∴DO∥MN，

∵DE⊥MN，

∴∠ODE=∠DEM=90°

即OD⊥DE，

∵D在⊙O上

∴DE是⊙O的切線

（2）解：連接CD

∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，

∴AD= = =3 ，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=∠AED=90°，

∵∠CAD=∠DAE，

∴△ACD∽△ADE，

∴ ，

∴ = ，

∴AC=15，

∴⊙O的半徑是7.5cm

（3）解：作OF⊥MN于F，則四邊形ODEF是矩形，OF=AD=6，

∴AF= = =4.5，

∴tan∠CAB= = = ．

【解析】（1）連接OD欲證明DE是⊙O的切線，只要證明∠ODE=90°即可．（2）連接CD，首先求出AD，由△ACD∽△ADE，得到 ，即可求出AC解決問題．（3）作OF⊥MN于F，則四邊形ODEF是矩形，根據tan∠CAB= ，求出AF即可解決問題．